שאלה ) 1 מבחינה של פרופ' נוגה אלון ( G V עם משקלים על הקשתות, ונתון עץ פורש מינימלי של G. נניח

Transcription

1 כל הזכויות שמורות קובץ זה נכתב על-ידי שלומי. אין להעתיקו או להציגו מחוץ לאתר של שלומי. באתר שלי ניתן למצוא פתרונות גם בקורסים נוספים. שאלה ) 1 מבחינה של פרופ נוגה אלון ( G V עם משקלים על הקשתות, ונתון עץ פורש מינימלי של G. נניח נתון גרף לא מכוון וקשיר, שמוסיפים ל- G קודקוד חדש v וקשתות ממושקלות המחברות אותו לחלק מקודקודי הגרף. תארו אלגוריתם שרץ בזמן logv ומוצא עץ פורש מינימלי בגרף החדש. e 1 תאור האלגוריתם נריץ את האלגוריתם של קרוסקל למציאת עץ פורש מינימלי על הגרף שקבוצת צמתיו היא קבוצת כל הצמתים כולל הצומת הנוסף וקבוצת קשתותיו היא קשתות העץ המקורי ובנוסף כל הקשתות שמחברות את הצומת הנוסף עם הצמתים האחרים. הוכחת נכונות טענה: קיים עץ פורש מינימלי שבו אין אף קשת מהגרף המקורי שלא היתה בעץ הפורש המקורי. e 1 כזאת. נראה שניתן להחליף אותה על-ידי קשת שכן היתה נניח שבעץ פורש מינימלי כן קיימת קשת e 1 מהעץ אז יתקבלו שני רכיבי חלק מהעץ המקורי, זאת בלי להגדיל את משקל העץ. אם נסיר את e 1 קשירות. בעץ המקורי קיימת לפחות קשת אחת שיכולה לחבר את שני רכיבי הקשירות האלה. נניח ש e 1 לעץ קלה יותר מכל קשתות העץ המקורי שיכלו לחבר את שני הרכיבים, אז יכולנו להוסיף את e 2 שמחברת את שתי הקבוצות. היינו מסירים המקורי. בכך היה מתקבל מעגל שמכיל לפחות קשת אחת e 2 ומקבלים עץ קל יותר מהעץ המקורי. זאת סתירה. לכן בעץ המקורי קיימת לפחות קשת אחת את שיכולה להחליף את בעץ החדש מבלי לגרום לעץ להיות כבד יותר. סיבוכיות: בעץ המקורי היו V 1 קשתות. כעת הוספנו עוד לכל היותר האלגוריתם היא V. logv קשתות. לכן זמן ריצת f 1000 שאלה ) 2 מבחינה של פרופ נוגה אלון ופרופ עמוס פיאט ( נתונה רשת זרימה G V, עם מקור s ובור t ובה זרימה f שערכה. האם בהכרח יש? f 700 f ברשת גם זרימה שערכה כן t 1 וקבוצת נסתכל על רשת שקבוצת צמתיה היא קבוצת הצמתים של הרשת המקורית ובנוסף הצומת t. 1 ברשת זאת קשתותיה היא קבוצת הקשתות של הרשת המקורית ובנוסף קשת בעלת קיבול 700 מ t ל t. 1 מכיון שבכל רשת הערך של זרימה מכסימלית שווה לערך חתך נחפש זרימה מכסימלית מ s ל מינימלי, אז ברשת המקורית החתך המינימלי הוא של ברשת החדשה החתך המינימלי הוא בגודל t 1 זרימה בגודל 700 אז כל הזרימה 700. לכן הזרימה המכסימלית בו היא בגודל 700. אם נזרים מ s ל עוברת דרך. t 1

2 שאלה ) 3 מבחינה של פרופ יוסי עזר, פרופ עמוס פיאט ופרופ מיכה שריר (,s. תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר, שבודק אם קיים מסלול יהא ) G( V, גרף מכוון, ויהיו t V לא פשוט מ- s ל- t. הוכיחו את נכונות האלגוריתם ונתחו את סיבוכיותו. סיבוכיות: אלגוריתם: 1. באמצעות שתי הרצות של אלגוריתם DFS נמצא את רכיבי הקשירות החזקה בגרף. 2. באמצעות אלגוריתם ) BFS או ( DFS נמצא את קבוצת הצמתים אליהם יש מסלול מהצומת. s 3. נסתכל על הגרף שקבוצת קשתותיו היא הקשתות בעלות כיוון הפוך מקשתות הגרף המקורי. בגרף זה נמצא את קבוצת הצמתים אליהם יש מסלול מהצומת ) t שוב באמצעות אלגוריתם ). BFS 4. התשובה היא חיובית אם ורק אם יש צומת שכלול גם בקבוצה שנמצאה בשלב 2 וגם בקבוצה שנמצאה בצעד 3 ושהוא נמצא ברכיב קשירות חזקה שבו יותר מצומת אחד. הוכחה: כדי שיהיה מסלול לא פשוט מ- s ל-, t צריך שיהיה מעגל שאליו יש מסלול מ- s וממנו יש מסלול ל- t. שני צמתים נמצאים על מעגל משותף אם"ם הם באותו רכיב קשירות חזקה. קיום מסלול מהמעגל לצומת t שקול לקיום מסלול מהצומת t למעגל בגרף שבו הפכנו את כיוון הקשתות. שאלה ) 4 מבחינה של פרופ אורי צוויק ( G V עם קיבולים, c : R ונתונה זרימה מקסימלית. f תאר/י נתונה רשת זרימה מכוונת, אלגוריתם יעיל ככל האפשר שבודק האם קיימת קשת ברשת שהגדלת קיבולה מאפשרת את הגדלת הזרימה. סיבוכיות: אלגוריתם: נבדוק אם קיים מסלול מצומת המקור לצומת היעד שמשתמש בקשת אחת שהיא רוויה ובמספר כלשהו של קשתות שאינן רוויות. נבצע סריקה דומה לסריקה של, BFS אך צומת יוכל להכנס לתור העתידים לסריקה לא רק פעם אחת אלא לפעמים פעמיים. לגבי כל צומת שאליו נגיע, נסמן אם הגענו אליו בלי שימוש בקשתות רוויות או במסלול שעובר גם בקשת רוויה אחת. לא נכניס לתור צמתים שאליהם הגענו על-ידי שימוש ביותר מקשת רוויה אחת. אם צומת מסומן ככזה שהגענו אליו רק תוך שימוש גם בקשת רוויה וכעת הגענו אליו מבלי שימוש בכזאת, אז נכניס אותו פעם נוספת לתור. הוכחת נכונות: אם אין מסלול שמשתמש רק בקשת רוויה אחת, אז צריך להגדיל את הקיבול של לפחות שתי קשתות כדי לקבל מסלול הוספה. אם יש מסלול שמשתמש רק בקשת אחת כזאת אז די להגדיל את הקיבול של קשת זאת. נניח שיש מסלול מתאים באורך סופי, לצמתים שאליהם יש מסלול מתאים באורך 1 בודאי הסריקה תגיע. נניח שלכל צומת שאליו יש מסלול מתאים באורך k מגיעים וגם מגיעים בלי שימוש בקשתות רוויות אם קיים מסלול כזה, אז הצמתים שבמרחק k יכנסו לתור, תוך שמסמנים אם השתמשנו בקשת רוויה. לכן גם לצמתים שאליהם יש מסלול באורך k 1 נגיע תוך שנסמנם נכון. 2

3 שאלה ) 5 מבחינה של פרופ אורי צוויק ( G V גרף לא מכוון עם פונקצית משקל אי שלילית יהא, תאר/י אלגוריתם יעל ככל האפשר למציאת קבוצת קשתות שמתקבל מ- G ע"י זריקת קשתות אין מעגלים. w : R, מוגדרת על קשתותיו. שסכום משקליהן מינימלי כך שבגרף min, V log סיבוכיות: אלגוריתם: נעבור על קשתות הגרף ונשאיר רק את הצמתים שלפחות קשת אחת נוגעת בהם. בגרף שמתקבל נריץ בכל רכיב קשירות אלגוריתם למציאת עץ פורש בעל משקל מכסימלי. אוסף הקשתות יהיה אוסף הקשתות שלא יכללו בעץ זה. אלגוריתם למציאת עץ פורש מכסימלי יהיה למשל האלגוריתם של פרים למציאת עץ פורש מינימלי שרץ על הגרף שבו לקשת בעלת משקל a בגרף המקורי יינתן משקל. a הוכחת נכונות: צריך למעשה להביא למכסימום את סכום משקל הקשתות שאינן מוסרות. מכיון שהמשקולות הן אי שליליות אז כל תוספת של קשת לקבוצת הקשתות הלא מוסרות, מגדילה את משקלה. לכן כל עוד אין בה מעגלים כדאי להוסיף לה קשתות. לכן בכל רכיב קשירות נקבל עץ פורש בעל משקל מכסימלי. עץ פורש בעל משקל W ברכיב קשירות בעל n צמתים בגרף המקורי הוא בעל משקל W בגרף שבו ביצענו את הטרנספורמציה המוזכרת על משקלי הקשתות. לכן הבעיה שקולה למציאת עץ פורש בעל משקל מינימלי לאחר ביצוע הטרנספורמציה. הערה יכולנו גם לחשב עצים פורשים מכסימלים בגרף המקורי. שאלה ) 6 מבחינה של פרופ אורי צוויק ( יהא A מערך של n מספרים ממשיים. תאר/י אלגוריתם יעיל ככל האפשר למציאת תת-קבוצה של איברי שסכומה מקסימלי, תחת האילוץ שאסור לבחור לתת-קבוצה זאת שני איברים סמוכים מ- A. A סיבוכיות: On אלגוריתם: נשתמש בתכנות דינמי. Fk נחשב את 1 k n עבור כל, Fn 1 Fn 2 אברי המערך. נגדיר 0 a יהיו k. Fk לאחר שנחשב את כל הערכים maxf k 1, ak Fk באופן הרקורסיבי הבא: 2 של, F נעבור על פני איברים החל מהראשון כשנגיע לאבר k נבחר אותו אם"ם מתקיים. k אם לא נבחר אותו אז נעבור ל 1, k ובמקרה זה נעבור ל 2 a k F k 2 F k 1 הוכחת נכונות: בהינתן ערכי הפתרונות האופטימלים עבור כל הקטעים בין האופטימלי בקטע בין k ל p אומר שיש לבחור את את הפתרון האופטימלי החל ממקום. k 1 יש עבור כל k מספר סופי קבוע של השוואות. p ל n עבור כל, p k אז הפתרון ak ולדלג על האיבר שבמקום ה- 1 k או לקבל 3

4 שאלה ) 7 מבחינה של פרופ נוגה אלון ופרופ עמוס פיאט (, G V עם צבע ) ce לבן או שחור ( לכל קשת, e ומשקל שלם נתון גרף לא מכוון, 1 w e 100 לכל קשת, e כשהיצוג ע"י רשימות שכנות ומשקל כל קשת וצבעה מופיעים ליד הופועותיה ברשימות השכנות. תאר/י אלגוריתם יעיל ככל האפשר המוצא מבין כל העצים הפורשים של G המכילים את המספר הגדול ביותר האפשרי של קשתות לבנות, עץ כזה בעל משקל מינימלי. סיבוכיות: הסבר: נפעיל את האלגוריתם של פרים למציאת עץ פורש מינימלי על גרף שבו משקלי הקשתות יהיו פונקציה של משקלי הקשתות בגרף המקורי ושל צבען. קשת לבנה תקבל את משקלה המקורי וקשת שחורה תקבל את משקלה המקורי ועוד ) 200V בחירה שרירותית ). כך תהיה עדיפות מוחלטת למספר הקשתות הלבנות ומבין העצים בעלי משקל שווה של קשתות לבנות יועדפו בעלי המשקל הנמוך. את הצמתים שאליהם עדיין לא הגענו נחזיק ב 200 תורים שכל אחד מהם יכלול קבוצה של צמתים בעלי מרחק מינימלי מסוים לקבוצת הצמתים שכבר צברנו במהלך ביצוע האלגוריתם, צומת יוכל לעבור רק לתורים המציינים מרחק נמוך יותר. בכל שלב נצרף לעץ צומת קרוב כמה שיותר. מספר העידכונים הכולל במשך.Oe כל עידכון לוקח לא יותר ממספר קבוע של ביצוע האלגוריתם לגבי צמתים שעדיין לא בעץ הוא פעולות. הערה: סיבוכיות האלגוריתם של קרוסקל לא תהיה כאן לינארית. אמנם בעזרת radix sort אפשר למיין את הקשתות בזמן לינארי, אך הסיבוכיות של union-find אינה לינארית. שאלה ) 8 מבחינה של פרופ נוגה אלון (. 1,0 או 0, 1, 0,0 שערכו, a e, be זוג משקלים e ולכל קשת, G V נתון גרף מכוון, תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר שבודק האם קיים ב- G מעגל מכוון ) לא בהכרח פשוט ( בך שסכום רכיבי ה- a שלו שלילי וגם סכום רכיבי ה- b שלו שלילי. הוכיחו את נכונות האלגוריתם וחשבו את סיבוכיותו. סיבוכיות: תאור האלגוריתם על-ידי שתי הרצות של אלגוריתם DFS נמצא את אוסף רכיבי הקשירות החזקה. בשלב הבא נעבור על פני כל קשתות הגרף ולגבי כל קשת נייחס אותה לרכיב קשירות חזקה מסוים אם שני קצוותיה באותו רכיב. אחר-כך נעבור על-פני רכיבי הקשירות החזקה השונים ונבדוק אם קיים רכיב כזה שבו גם קשת מסוג,0 וגם קשת מסוג. 1,0 אם"ם התשובה לכך היא חיובית אז קיים מעגל כנדרש. 1 הוכחת נכונות שתי קשתות שאינן ברכיב קשירות חזקה אחד אינן על מעגל כי יכול להיות מסלול לכל היותר מצמתי אחת משתי הקשתות לצמתי הקשת האחרת. ברכיב קשירות חזקה יש מסלול מכוון מכל צומת לכל צומת, לכן יש מעגל שעובר בכל הצמתים שבקצוות של שתי קשתות. 4

5 שאלה ) 9 מבחינה של פרופ יוסי עזר (. w : R גרף לא מכוון וקשיר, עם משקלים G V יהא, א. תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר אשר בהינתן צומת u V מוצא מבין העצים הפורשים d T זו דרגת u בעץ T. הוכיחו את נכונות u מקסימלי, כאשר d T המינימלים עץ T שעבורו u האלגוריתם ונתחו את סיבוכיותו. O סיבוכיות: V log V אלגוריתם: באמצעות האלגוריתם של פרים נמצא עץ פורש מינימלי בגרף המושרה על קבוצת הצמתים חוץ מ u. לקבוצת קשתות העץ שהתקבל נוסיף את כל הקשתות שנוגעות ב u. בגרף שזו קבוצת קשתותיו נמיין את הקשתות לפי משקלן ונמצא גם את - d ההפרש המינמלי בין משקל זוג קשתות שונות משקל. d נוריד גודל ממשקל כל קשת שנוגעת ב u ולא נשנה את משקלי יתר הקשתות. 2V הפתרון שנתן יהיה העץ הפורש המינימלי המתקבל על גרף זה. הוכחה: לפי פתרון שאלה 1 בקובץ קיים עץ פורש מינימלי שלא משתמש באף קשת שגם לא נוגעת ב u וגם לא כלולה בעץ הראשון שחישבנו. מכיון שניתנה עדיפות לכל קשת על פני כל הקשתות הכבדות ממנה אז העץ המתקבל הוא עץ פורש מינמלי. מכיון שניתנה עדיפות לקשתות הנוגעות ב u אז מבין כל שני עצים שווי משקל ניתנת עדיפות לעץ שבו דרגת u גבוהה יותר. בשלב השני היו רק סדר גודל של V קשתות.,u מוצא מבין העצים הפורשים ב. תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר אשר בהינתן שני צמתים v V dt מקסימלי. הוכיחו את נכונות האלגוריתם ונתחו את u dt המינימלים עץ T שעבורו v סיבוכיותו. O V log V סיבוכיות: אלגוריתם: נשתמש באלגוריתם דומה. בשלב הראשון נמצא עץ פורש מינימלי בגרף המושרה על כל קבוצת הצמתים d חוץ מ u ו. v בשלב השני נצרף את u ואת v ואת כך הקשתות הנוגעות בהם. בשלב השני נוריד 2V ממשקל כל קשת שנוגעת ב d 2V u ונוסיף למשקל כל קשת שנוגעת ב v שבין u ל.( v ) כך לא ישתנה משקל קשת הוכחה: שוב, כל קשת נשארה קלה יותר מכל הקשתות שהיו קלות ממנה לכן, בשלב השני שוב יתקבל עץ פורש מינימלי. בשלב השני תינתן עדיפות מתאימה בהתאם לנגיעה ב u או ב. v 5

6 הערה: ניתן היה גם לפתור באמצעות הרצה אחת של האלגוריתם של פרים תוך מתן עדיפיות לקשתות מבלי חישוב של משקלים חדשים. הסיבוכיות של אלגוריתם קרוסקל היא יותר גבוהה משל אלגוריתם פרים. לכן, לפני שהרצנו את אלגוריתם קרוסקל, צימצמנו את מספר הקשתות המעומדות להיות חלק מעץ פורש מינימלי. שאלה ) 10 מבחינה של פרופ עוזי וישקין ( G V עץ לא מכוון. המרחק בין שני צמתים ב- G הוא אורך המסלול הקצר ביותר ביניהם, יהא, בספירת קשתות. המרחק המכסימלי בין שני צמתים כלשהם בגרף הוא הקוטר של הגרף. תנו אלגוריתם מהיר ככל שתוכלו שמוצא את הקוטר של G. מה סיבוכיות האלגוריתם שנתתם? ) רמז: יהא v צומת כלשהו בגרף. מה תוכלו לאמור על צומת u שמרחקו מ- v הוא מכסימלי? ( סיבוכיות: אלגוריתם: 1. נבחר צומת v שרירותי בעץ. מצומת זה נחשב באמצעות אלגוריתם BFS את המרחקים לכל צמתי העץ. נבחר צומת u שעבורו התקבל מרחק כזה מכסימלי. 2. מהצומת u נחשב באמצעות אלגוריתם BFS את המרחקים לכל צמתי העץ. המרחק המכסימלי שיתקבל בשלב הזה הוא קוטר העץ. w2 שהמרחק ביניהם גדול מהמרחק v r1 w1 נכונות: צריך למעשה להוכיח שהצומת u הוא קצה של קוטר. נניח בשלילה ש u אינו קצה של קוטר. אז קיימים זוג צמתים של u מכל צומת בעץ. u ו w2 w1 r2 שני המסלולים מ- v ל- u ומ- w1 ל- w2 מחוברים על-ידי מסלול מ- r1 ל-. r2 ) יתכן ש r1 ו r2 הם אותו צומת. ( המרחק מ- u ל- r2 קטן מהמרחק מ- w1 ל-. r2 לכן המרחק מ- u ל- r1 קטן מהמרחק מ- w1 ל- r1. לכן המרחק מ- v ל- u קטן מהמרחק מ- w1 ל-. v לכן u לא היה יכול להבחר כבעל מרחק מכסימלי מ- v בשלב 1. מספר הקשתות בעץ הוא, V 1 לכן הסיבוכיות של BFS היא כאן O. V 6

7 שאלה ) 11 מבחינה של פרופ נוגה אלון ופרופ עמוס פיאט (, G V מיוצג ע"י רשימות שכנות. תאר/י אלגוריתם יעיל ככל האפשר שיקבע נתון גרף לא מכוון, ו,G שקבוצת צמתיו היא קבוצת הצמתים של,G של H V, אם קיים תת גרף מקיימת, 2V כאשר H עצמו גרף קשיר וחסר גשרים ) ז"א: לכל e גם הגרף H ללא הקשת e הוא קשיר ). סיבוכיות: הסבר: באמצעות אלגוריתם DFS נבדוק אם הגרף G הוא גרף קשיר וחסר גשרים. אם הוא לא קשיר או בעל גשרים, אז בודאי אם נסיר ממנו קשתות הוא יהיה בלתי קשיר או בעל גשרים. אם הוא קשיר וחסר גשרים אז יש לו עץ פורש בעל V 1 קשתות. נראה שניתן להוסיף לעץ לא יותר מ V 1 קשתות ולקבל גרף קשיר וחסר גשרים. לצומת שהוא עלה בעץ יש קשת שהיא לא קשת בעץ שמחברת אותו לצומת אחר בגרף. נצרף את הקשת הזאת ובכך יווצר תת גרף חסר גשרים שכולל את העלה. כעת בכל שלב שבו עדיין יש צומת שאינו בתת הגרף חסר הגשרים של העלה, נוסיף קשת שמחברת את רכיב זה עם צומת שאינו ברכיב זה ובכך ירד מספר הצמתים שאינם בתת גרף חסר הגשרים של העלה בלפחות 1. בתחילה היה מספר צמתים אלה שווה ל V 1 לכן דרושות לא יותר מ V 1 תוספות של קשתות כדי להורידו לאפס. שאלה ) 12 מבחינה של פרופ נוגה אלון ( נתונה רשת זרימה בה הקיבולים של כל הקשתות הם מספרים שלמים וזוגיים, מלבד קשת אחת u,v שלה קיבול אי-זוגי. נתונה זרימה מקסימלית, f ונניח שערכה אי-זוגי. האם u,v בהכרח רוויה? תשובה: כן הוכחה: נניח בשלילה שהיא לא רוויה. אם היא לא רוויה אז ניתן להקטין את קיבולה ועדיין לקבל את אותה זרימה מקסימלית. ערך זרימה זאת הוא אי-זוגי. אך זרימה מקסימלית שווה לגודל חתך מינימלי, לאחר השינוי ישארו קיבולי כל יתר הקשתות זוגיים וקיבול קשת זאת לא יהיה מספר שלם אי-זוגי לכן גודל החתך המינימלי לא יהיה מספר אי-זוגי. X n שאלה ) 13 מבחינה של פרופ מיכה שריר (. X, X תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר המחשב לכל אינדקס 2 נתונה סדרת מספרים ממשיים,, 1 j את מספר התת-סדרות העולות ממש המסתיימות ב- a i x j, המקיימת a a 1 2 a, X a2, x j ) תת-סדרה עולה ממש היא תת-סדרה. היא X a1 X a2 X a i,, X כאשר X 1 a i (. a i מסתיימת ב- אם j O n 2 יעילות: 7

8 אלגוריתם: נשתמש בתכנות דינמי. עבור המספר הראשון בסדרה מספר התת-סדרות המתאימות הוא 1. נעבור על כל האינדקסים מונוטונית מהקטן לגדול. עבור כל איבר, מספר התת-סדרות המתאימות שמסתיימות בו יהיה שווה ל 1 ועוד הסכום של מספרי התת-סדרות המתאימות שמסתיימות במספרים בעלי אינדקס נמוך יותר שהם גם קטנים מהמספר עצמו ) עוברים על כל המספרים שהם גם בעלי אינדקס נמוך יותר וגם קטנים יותר ). הסבר: עבור כל j כל תת סדרה מתאימה או שמכילה רק את המספר בעל אינדקס j או שהאיבר הלפני האחרון הוא אחד המספרים הקטנים יותר שהם בעלי אינדקס קטן יותר. זאת חלוקה למקרים זרים לפי זהות האיבר הלפני אחרון. לגבי כל אינדקס j עוברים על פני לא יותר מ n אינדקסים קטנים יותר ומסכמים לא יותר מ n מספרים. שאלה ) 14 מבחינה של פרופ נוגה אלון ( נתון גרף לא מכוון G V, מיוצג ע"י רשימות שכנות, נתון משקל שלם e 1 w V לכל קשת s תאר/י אלגוריתם יעיל ככל האפשר המוצא מסילה מ-.,s t V ונתונים זוג צמתים, e שהמשקל המירבי של קשת במסילה הוא קטן ככל האפשר. ל- t כך סיבוכיות: הסבר: האלגוריתם יורכב משני שלבים עיקריים בשלב הראשון נמצא אוסף קשתות בעלות משקל מכסימלי קטן ככל היותר שמאפשרות קשירות בין s ל t. בשלב השני נבצע BFS בגרף שאוסף קשתותיו נמצא בשלב הראשון. ה- BFS יתחיל בצומת s עד הגעה לצומת t כאשר לא נסתכל על המשקל של כל קשת באוסף זאת כי כבר ברור שבשביל לגרום ל- s ול- t להיות ברכיב קשירות אחד, צריך קשתות במשקל של לפחות המשקל המכסימלי של קשתות האוסף. השלב הראשון: נעבור על-פני קשתות הגרף ונכניס את כל אחת מהן לרשימה של קשתות בעלות משקל שווה לשלה ) יהיו V רשימות של קשתות ). נסמן את הצומת s שהגענו אליו. נסמן את יתר הצמתים ככאלה שבשלב זה לא הגענו אליהם. לכל צומת נחזיק תור של קשתות שנוגעות בו ושעליהן צריך לעבור כאשר נגיע לצומת זה. בתחילה יהיו בתורים רק הקשתות בעלות משקל 1. נחזיק תור של צמתים שאליהם הגענו ושצריכים להיסרק. כל עוד לא הגענו לצומת t נסרוק צמתים שבתור זה. צומת שהתור שלו יתרוקן יצא לפחות באופן זמני מהתור של הצמתים שצריכים להיסרק. כאשר התור של הצמתים יתרוקן מבלי שהגענו לצומת t אז נוסיף קשתות חדשות לתורי הקשתות של צמתים שבקצוותיהם ומבין הצמתים האלה נוסיף את אלה שאליהם כבר הגענו לתור הצמתים שצריכים להיסרק. הקשתות החדשות שנוסיף הן הקשתות מהרשימה של הקשתות הכי קלות מבין אלה שעדיין לא עברנו עליה. צמתים שאליהם נגיע לראשונה במהלך הסריקה גם יכנסו לתור הצמתים שאותם צריך לסרוק ) לגבי כל צומת כזה, יתכן שכבר יש בתור הקשתות שלו קשתות שעליהן צריך לעבור, הקשתות האלה נצברו כבר לפני שהגענו לצומת זה ). הערה: ניתן לפתור גם בדרכים שונות לחלוטין. 8

9 שאלה ) 15 מבחינה של פרופ נוגה אלון ופרופ מיכה שריר ( נתון גרף מכוון ( G, ( V, המיוצג ע"י רשימות שכנות. תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר, המחשב את הקבוצה U V של הצמתים. v ל- u קיימת מסילה מכוונת מ- v V u, בעלי התכונה שלכל O V יעילות: אלגוריתם: באמצעות שתי הרצות של אלגוריתם DFS נמצא את רכיבי הקשירות החזקה בגרף. נחשב את גרף העל של הגרף G. לגבי גרף העל, נסתכל על הגרף שאוסף קשתותיו הן בעלות כיוון הפוך לקשתות הגרף המקורי, בגרף זה נבחר צומת שרירותי וממנו נעשה BFS לצורך מציאת עלה-. w בגרף העל המקורי נבצע BFS מהצומת. w אם"ם בסריקה זאת נגיע לכל צמתי הגרף, אז צמתי רכיב הקשירות שמייצג w הם הקבוצה U. אחרת הקבוצה ריקה. U היא U. לכן קבוצת הצמתים U צריך להיות מסלול לכל צומת אחר בקבוצה הסבר: מכל צומת בקבוצה רכיב קשירות חזקה. בגרף שכיוון קשתותיו הפוך לכיוון המקורי דרוש שיהיה מסלול מכל צומת לצמתי U לא יהיה מסלול לצמתים אחרים כי אחרת הם היו חלק מאותו רכיב קשירות חזקה. לכן U ושמצמתי BFS בגרף שכיוון קשתותיו הפוך לכיוון המקורי של קשתות גרף העל חייב להגיע לצומת שמייצג את U ושזה יתגלה כעלה. הקבוצה ) מבחינה של פרופ נוגה אלון ופרופ מיכה שריר ( שאלה 16 T של n תווים ותבנית P של m תווים. תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר הבודק אם נתונה מחרוזת y 2 P P של, P כך ש- T xp y וגם מתקיים קיימות מחרוזות,x y ורישא (לא ריקה) O min m, n יעילות: k אלגוריתם: נתייחס לתבנית שהיא התבנית המקורית אם n m ואחרת היא רק n התווים הראשונים בתבנית T. נריץ את אלגוריתם KMP למציאת כל ההופעות של התבנית במחרוזת חלקית של T שהיא - max k minn, התווים האחרונים של : T עבור כל מקום k במחרוזת T המקורית, נקבל את 3m אורך הרישא הארוכה ביותר שמסתיימת בו. הדרישה מתקיימת אם"ם קיים k כך ש. 2max n k הסבר: אם יש התאמה של רישא מסוימת במקום מסוים, אז תמיד אפשר לבחור את x ואת y שיהיו זהים לתתי 2max הוא k המחרוזות שלפני הרישא המתאימה ואחרי הרישא המתאימה. קיום k כך ש n k בדיוק הדרישה הנחוצה. הדרישה שיתקיים y 2 P אומרת שההתאמה החלקית או המלאה חייבת להיות ב 3mהמקומות האחרונים של ) T כי התאמה היא באורך של לא יותר מ ). m. min n, לגבי היעילות: מריצים KMP כאשרי אורך המכסימלי מבין המחרוזת והתבנית הוא 3m 9

10 שאלה ) 17 מבחינה של פרופ נוגה אלון ופרופ מיכה שריר ( נתון גרף לא מכוון ( G ( V, המיוצג ע"י רשימות שכנות, וצומת. s V לכל קשת e יש w (חיובי או שלילי). תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר המחשב, לכל צומת, v V את משקל שלם e המשקל המינימלי של מסלול מ- s ל- v בעל מספר זוגי של קשתות. (הניחו שב- G אין מעגלים שליליים.) O יעילות: V כמו דיקסטרה או אם לא מניחים שהקשתות אי-שליליות אז logv כמו בלמן פורד הערה: במקרה הזה היתה הנחיה מיוחדת שקשת שעוברים עליה פעם בכל כיוון היא מעגל באורך 2. לכן אין למעשה קשתות בעלות משקל שלילי. אלגוריתם: נסתכל על גרף דו-צדדי שבו לכל צומת מהגרף המקורי יש עותק בכל צד. עבור כל זוג צמתים,i j משני צדדים שונים, יש בינהם קשת אם בגרף המקורי יש קשת בין שני הצמתים שהם מייצגים. משקל קשת זאת זהה למשקל הקשת מהגרף המקורי. בגרף זה נמצא את המרחקים מעותק אחד של הצומת s לכל יתר הצמתים שבצד זה. אלה המרחקים הדרושים. הסבר: מכיון שהגרף שנבנה הוא דו-צדדי אז כל המסלולים בעלי אורך זוגי שמתחילים בצד אחד מסתיימים באותו צד. לכל מסלול בעל אורך זוגי בגרף המקורי, יש מסלול מתאים בגרף זה. כל מסלול בגרף זה מייצג מסלול בגרף המקורי. מכיון שבגרף המקורי אין מעגלים בעלי אורך שלילי, אז גם בגרף הדו-צדדי אין מעגלים בעלי אורך שלילי. מספר צמתי הגרף הוא כפליים מספר צמתי הגרף המקורי ומספר קשתות הגרף הוא כפליים מספר קשתות הגרף המקורי. מכאן מתקבלת היעילות הרשומה. 10

11 שאלה ) 18 מבחינה של פרופ נוגה אלון ופרופ מיכה שריר ומבחינה של פרופ אורי צוויק ( G, V המיוצג ע"י רשימות שכנות. נתון גרף מכוון, תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר, המוצא קבוצת צמתים לא ריקה U V מגודל מינימלי אפשרי, כך שאין שום קשת מכוונת היוצאת מצומת של U לצומת שאינו ב- U. O V יעילות: אלגוריתם: 1. באמצעות שתי הרצות של אלגוריתם DFS נמצא את רכיבי הקשירות החזקה בגרף. 2. נמצא את כל רכיבי הקשירות החזקה שמהם לא יוצאות קשתות לצמתים שמחוץ להם. 3. לקבוצה U נבחר את כל צמתי הרכיב בעל מספר מינימלי של צמתים מבין הרכיבים שנמצאו בשלב.2 הסבר: מכל צומת יש מסלול לכל צומת שבאותו רכיב קשירות חזקה. לכן אם בוחרים צומת מסוים, אז כל הצמתים מרכיב הקשירות החזקה שלו צריכים להבחר. מכל רכיב קשירות חזקה יש מסלול לרכיב קשירות חזקה שמימנו אין קשתות אל מחוצה לו. לכן חייבים לבחור לפחות רכיב קשירות חזקה אחד שממנו אין יציאות. בחרנו רכיב כזה שהוא בעל גודל מינימלי. שאלה ) 19 מבחינה של פרופ נוגה אלון ופרופ מיכה שריר ומבחינה של פרופ אורי צוויק ( 1 w e לכל קשת גרף לא מכוון מיוצג ע"י רשימות שכנות, עם משקל שלם G V יהא, e כך שאין אף זוג קשתות בעלות אותו משקל. קשת נקראת כבדה אם היא בעלת משקל מקסימלי במעגל פשוט כלשהו ב- G. תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר שימצא את כל הקשתות הכבדות בגרף. O V, V יעילות: אלגוריתם: באמצעות הרצה בודדת של האלגוריתם של קרוסקל על כל הגרף נמצא עצים פורשים מינימלים בכל רכיבי הקשירות של הגרף. הקשתות הכבדות הן הקשתות שלא יבחרו ליער זה. הסבר: כאשר כל המשקולות שונים, הקשתות שלא נבחרות כאשר מריצים את אלגוריתם קרוסקל הן הקשתות שסוגרות מעגל עם קשתות בעלות משקל קטן ממשקלן. במקרה המתואר ניתן למיין את הקשתות לפי אורכן בזמן.O V לכן כאן השלב שצורך יותר זמן הוא השלב השני באלגוריתם של קרוסקל. 11

12 שאלה ) 20 מבחינה של פרופ נוגה אלון ופרופ מיכה שריר ומבחינה של פרופ אורי צוויק ( w (חיובי או שלילי) לכל e המיוצג ע"י רשימות שכנות עם משקל שלם G, V נתון גרף מכוון, קשת. e נתון שאין ב- G מעגל שלילי. תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר המוצא לכל v V את המשקל הקטן ביותר של מסילה מכוונת (בעלת מספר קשתות כלשהו) המתחילה ב-. v O V יעילות: אלגוריתם: נמצא את הגרף בעל אותה קבוצה של צמתים ובעל קשתות בכיוון הפוך מהקשתות המקוריות. לגרף זה נוסיף את צומת s וממנו נוסיף קשתות בעלות משקל אפס לכל אחד מצמתי הגרף. בגרף שהתקבל נמצא באמצעות אלגוריתם בלמן פורד את משקלי המסילות הקצרות ביותר מהצומת s לכל אחד מצמתי הגרף. לגבי כל צומת, המרחק שהתקבל מהצומת s בגרף שבנינו, הוא המרחק המינימלי מצומת זה בגרף המקורי. אם רוצים להימנע ממסילות ריקות ללא קשתות אז משכפלים שני עותקים של צמתי הגרף, הקשתות בכיוון הפוך יהיו בין הנציגים של הצמתים שבאותו עותק וגם בין צמתי העותק הראשון לצמתי העותק השני ) רק בכיוון זה ). מהצומת s יצאו הקשתות שאותן הוספנו רק לנציגי העותק הראשון. המרחק לצומת יוגדר כמרחק לנציג שלו בעותק השני. הסבר: המרחק מצומת s לצומת v בגרף שבנינו שווה למרחק הכי קטן מצומת אחר לצומת. v זה שווה למרחק הכי קטן מצומת v לאיזשהו צומת בגרף המקורי. על-ידי היפוך כיוון הקשתות והוספות רק קשתות יוצאות מהצומת s לא יצרנו מעגלים בעלי אורך שלילי ) לא ניצור כלל מעגלים חדשים ). גם אם נשכפל את צמתי הגרף לשני עותקים לא ניצור מעגלים חדשים. המסילות לצמתי העותק השני עוברות לפחות קשת אחת בגרף המקורי. שאלה ) 21 מבחינה של פרופ נוגה אלון וד"ר איריס רוזנבלום ומבחינה של פרופ מיכה שריר ( G V המיוצג ע"י רשימות שכנות ונתונה קבוצת צמתים U. V תארו נתון גרף מכוון, אלגוריתם יעיל ככל האפשר שיקבע אם יש מסילה מכוונת (לאו דווקא פשוטה; קרי ייתכן שתעבור בצמתים וקשתות יותר מפעם אחת) שמבקרת בכל הצמתים ב- U. יעילות: נחשב את רכיבי הקשירות החזקה. נמצא מיון טופולוגי של גרף העל. בגרף העל נבצע DFS החל מהרכיב שממנו יש מסלולים לכל יתר הרכיבים. יש מסלול כנדרש אם"ם כל רכיבי הקשירות החזקה שבהם יש ייצוג לצמתים מהקבוצה U הם על מסלול פשוט בסריקה שמצאנו. אם אין מסלול כזה אז זה אומר שבין לפחות שני צמתים מ U אין מסלול באף לא כיוון כי ברור שבכיוון ההפוך לסריקה אין מסלול כזה. בכל רכיב קשירות חזקה יש מסלול מכל צומת לכל צומת ובחזרה ולכן ניתן גם לצאת מכל צומת שלו אל רכיב קשירות חזקה אחר. בסריקה אפשר לקבל סדרים שונים. כדי להתגבר על זה נבדוק אם מכל צומת שמייצג צומת שבו צמתים מיוחדים יש מסלול לצומת שהוא הבא אחריו במיון הטופולוגי שבו צמתים מיחדים. אם עבור כל שני זוגות עוקבים זה מתקיים אז יש מסלול כנדרש. נדאג שנגיע לצומת הבא לפני שנסוגונו סופית מהקודם. 12

13 שאלה ) 22 מבחינה של פרופ נוגה אלון ופרופ מיכה שריר ומבחינה של פרופ אורי צוויק ( G V המיוצג ע"י רשימות שכנות. נתון גרף לא מכוון דו-צדדי, תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר המוצא ב- G תת גרף בעל מספר מירבי של קשתות, שבו לכל קודקוד דרגה לכל היותר 3. 2 / 3 יעילות: O V אלגוריתם: נבנה רשת זרימה שעליה נפעיל אלגוריתם זרימה. לכל צומת מהגרף המקורי יהיו ארבעה צמתים נציגים. נוסיף שני צמתים s ו t לגרף. יהיו קשתות מכוונות מ s לשלושה עותקים של כל צומת בצד הראשון. תהיה קשת מכל אחד מנציגים אלה אל הנציג הרביעי של אותו צומת. יהיו קשתות מכוונות משלושה נציגים של כל צומת מהצד השני אל הצומת t. מכל נציג רביעי יהיו קשתות מכוונות לשלושת הנציגים האחרים של אותו צומת. עבור כל זוג צמתים שיש ביניהם קשת בגרף המקורי תהיה קשת מכוונת מהנציג הרביעי של הצומת שבצד הראשון אל הנציג הרביעי של הצומת שבצד השני. לכל הקשתות יהיה קיבול של יחידה אחת. נפעיל את אלגוריתם דיניץ אלגוריתם למציאת זרימה מכסימלית מ s ל הצמתים שבין הנציגים הרביעיים שלהם יש זרימה בגרף ברשת שבנינו. הערה: נייצג ברשת רק צמתים שלהם דרגה לפחות 1 בגרף המקורי. t. זוגות הצמתים מהגרף המקורי שביניהם תהיה קשת הם b 1 a 1 a4 b4 b 2 s a 2 a 3 b 3 t b בשרטוט נתונה רשת שמייצגת בניה לפי גרף מקורי שבו שני צמתים a ו שביניהם יש קשת. הסבר: בכל צומת יכולה לעבור זרימה של לכל היותר שלוש יחידות. הקישור דרך הנציגים הרביעיים דואג לכך שלא תהיה זרימה של יותר מיחידה אחת בין שני צמתים. זאת היא רשת זרימה שבה מספר הצמתים הוא באותו סדר גודל של מספר הצמתים שבגרף המקורי ומספר הקשתות הוא בסדר גודל של מספר הקשתות שבגרף המקורי ) לא יצגנו צמתים שלהם דרגה אפס בגרף המקורי ). זאת היא רשת זרימה עם קיבולים של יחידה אחת וללא קשתות מקבילות. 13

14 שאלה ) 23 מבחינה של פרופ נוגה אלון ופרופ מיכה שריר ( נתונה מחרוזת T של n תווים ותבנית P של m תווים,. P m n, T n תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר הבודק האם קיים k שלם כך ש- T P P... P כאשר כל i1 i2 i k P i j הוא רישא של k ואם קיים, P כזה הוא מוצא את ה- k הקטן ביותר עבורו זה מתקיים. יעילות: On אלגוריתם: השלב הראשון: נריץ את אלגוריתם. KMP עבור כל מקום במחרוזת נקבל את הרישא הארוכה ביותר המסתיימת בו. השלב השני: אם במקום האחרון במחרוזת מסתיימת רישא, אז נבחר את הרישא הארוכה ביותר המסתיימת במקום זה. נקצץ מהמחרוזת את הסיפא שחופפת לרישא הארוכה ביותר שנמצאה. נמשיך בתהליך דומה בחלק של המחרוזת שנותר. נספור את מספר הפעמים שנקצץ סיפא. הכיסוי על-ידי רישות אפשרי אם באיזשהו שלב נגיע למצב שקיצצנו כבר את כל המחרוזת. הסבר: מבלי לפגוע בקיומו של פתרון וגם כדי להביא למינימום את מספר הרישות שבכיסוי, ניתן לבחור בכל שלב ברישא הארוכה ביותר האפשרית של התבנית שתכסה סיפא של המחרוזת. אם קיים פתרון אחר שמשתמש ברישא קצרה יותר, אז ניתן לקצץ בפתרון זה חלק מרישות קודמות, כך שנאריך את הרישא האחרונה על חשבון הקודמות ובסך הכל נכסה את אותו חלק של המחרוזת. סיבוכיות השלב הראשון היא הסיבוכיות של אלגוריתם. KMP כמובן לא נקצץ חלקים מהמחרוזת יותר מ n פעמים. T שאלה ) 24 מבחינה של פרופ מיכה שריר ( תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר שבודק, בהינתן שתי מחרוזות S,T באורך n הזזה ציקלית של ) S לדוגמא car ו arc הן הזזות ציקליות אחת של השניה ). כל אחת, האם היא יעילות On T 2 אלגוריתם S אחת אחר השניה. נריץ אלגוריתם לבדיקה אם T יהיה טקסט שיורכב מרצף של שתי מחרוזות T 2 T. 2 אם מתייחסים רק להזזות ממש ולא כוללים בהן זהות T. 2 יש הזזה ציקלית אם S יופיע ב מופיע ב 2n אותיות שלא כולל את האות הראשונה בין מחרוזות, אז בודקים רק אם S מופיע בטקסט של 2 והאחרונה של. T ) אם S T 2 S הסבר אם S היא הזזה ציקלית של T ב k זהות אז הוא יופיע החל ממקום ). 1 מקומות, אז יופיע ב החל ממקום k 1 הן ו 14

15 שאלה ) 25 מבחינה של פרופ נוגה אלון ( G V גרף קשיר, לא מכוון, עם מחיר לכל קשת. יהא, G2 V הם שני גרפים קשירים על אותה קבוצת צמתים, 2 ו G1 V, 1 הוכח או הפרך: אם T2 V עץ פורש מינימלי ל-, F 2,G 1 T1 V עץ פורש מינימלי ל-, F 1 עם מחיר לכל קשת, ו V. G V, 1 2 הוא גם עץ פורש מינימלי של V, F1 F2 אזי עץ פורש מינימלי בגרף G 2.( 1 2 ) נניח כאן כי 1 2 אך לא e שהיא ב פתרון נראה שהטענה נכונה. נניח שיש עץ פורש מינימלי של G שבו יש קשת. 1 נראה שיש עץ פורש מינימלי אחר של G שבו היא. F1 F 2 נניח בלי הגבלת הכלליות שהיא ב ב F 1 כאשר יתר קשתות העץ לא הוחלפו. נסיר אותה מהעץ לא נמצאת ובמקומה נמצאת קשת ששיכת ל T 1 לכן בהכרח e לא נכללת בעץ הפורש הנתון של G. בכך יווצרו שני רכיבי קשירות בגרף. הקשת F 1 שאף אחת מקשתות מעגל זה היא לא יותר כבדה מ. e מבין קשתות היא סוגרת מעגל עם קשתות מ e מהעץ של G. המעגל יש לפחות עוד קשת אחת שמחברת את שני רכיבי הקשירות שנוצרו עם הסרת e ובכך נקבל עץ שסכום משקל קשתותיו לא יותר גדול נוסיף את אחת מהקשתות האלה לעץ במקום מהמקורי ולכן גם הוא עץ פורש מינימלי. כך נוכל להחליף אחת אחר השניה את כל קשתות העץ של G. F F בקשתות שהן כן ב שאינן ב 1 F 2 1 F 2 שאלה ) 26 מבחינה של פרופ לאה אפשטיין וד"ר מירי פרייזלר (, G V כאשר, V 1,2,,n קודקוד s ב-,V ונתונה פונקצית משקל אי נתון גרף מכוון,. w : R שלילית 0. x 0 x 1 x r x 0 או x 1 x r x 0 יקרא מונוטוני אם, x1,, x r המסלול תארו אלגוריתם יעיל למציאת משקל המסלולים המונוטונים הקלים ביותר מ- s לכל קודקוד. הסבירו את נכונות האלגוריתם וחשבו את סבוכיותו. O V סבוכיות תאור האלגוריתם שלב ראשון: נמחק מהגרף את כל הקשתות שמחברות צמתים בעלי אינדקס קטן מהאינדקס של s עם צמתים בעלי אינדקס גדול משל s או להפך. שלב שני: נשתמש בתכנות דינאמי. המרחק לצומת s הוא אפס. עבור הצמתים בעלי אינדקס גדול מהאינדקס של : s נעבור על הצמתים האלה בסדר עולה. עבור כל צומת v כזה המרחק המבוקש יהיה המינימום על-פני המרחק לצומת שכן w בעל אינדקס קטן יותר ) אך לא קטן משל ( s + אורך הקשת מהצומת w ל. v עבור הצמתים בעלי אינדקס קטן מהאינדקס של : s נעבור על הצמתים האלה בסדר יורד. עבור כל צומת v כזה המרחק המבוקש יהיה המינימום על-פני המרחק לצומת שכן w בעל אינדקס גדול יותר ) אך לא גדול משל ( s + אורך הקשת מהצומת w ל. v 15

16 הסבר נכונות אין מסלול מונוטוני שמתחיל בצומת s ועובר גם בצמתים בעלי אינדקס גבוה יותר וגם בצמתים בעל אינדקס נמוך יותר. כל מסלול מ s לצומת שונה מ s עובר רק דרך צמתים בעלי אינדקס קרוב יותר לזה של. s לגבי כל צומת, בהנחה שלגבי כל הצמתים בעלי אינדקס קרוב יותר ל s חשבנו את המרחקים האופטימלים אז במעבר על כל הקשתות שנכנסות אליו נמצה את כל המסלולים הנכנסים אליו. על כל צומת ועל כל קשת עוברים רק מספר סופי של פעמים. שאלה ) 27 מבחינה של פרופ לאה אפשטיין וד"ר מירי פרייזלר ( V ב- s קודקוד, w : R פונקצית משקל 0, G V נתון גרף לא מכוון, קשיר ופשוט,, ועץ פורש T של הגרף G. תארו אלגוריתם יעיל, הבודק אם T הוא עץ מסלולים קלים ביותר מ- s לכל קודקוד בגרף. הסבירו את נכונות האלגוריתם וחשבו את סבוכיותו. O V סבוכיות תאור האלגוריתם שלב ראשון: נחשב את המרחקים על העץ מהצומת s אל כל צמתי הגרף. נסרוק את העץ ב BFS החל מ s ולגבי כל צומת, w המרחק מ- s יוגדר כמרחק לצומת שממנו הגענו לצומת w בתוספת אורך הקשת ביניהם. שלב שני: נעבור על פני כל קשתות הגרף. עבור כל קשת נבדוק אם קיים צומת w מבין שני קצוותיו שהמרחק על העץ לקצה השני של הקשת מ- s בתוספת אורך הקשת שביניהם קטן מהמרחק על העץ לצומת. w אם לפחות פעם אחת ימצא צומת כזה אז העץ איננו עץ מרחקים מינימלים. אחרת הוא כן. הסבר נכונות בשלב הראשון נמצא את כל המרחקים הקצרים ביותר על העץ כי לכל צומת יש רק מסלול אחד שמוביל אליו מ- s על העץ. לגבי השלב השני: אם קיים צומת שלגביו העץ לא נותן מרחק אופטימלי אז יש מסלול קצר יותר לצומת. במסלול זה יש צומת ראשון אליו העץ לא נותן מרחק מינימלי.כאשר נטפל בקשת שבין הצומת הזה להורה שלו במסלול נקבל אי שיוויון שיראה שהעץ לא אופטימלי. סבוכיות החלק הראשון היא כי בעץ יש רק V 1 קשתות. סבוכות החלק השני היא כי עוברים על פני כל קשת מספר סופי של פעמים. 16

17 שאלה ) 28 מבחינה של פרופ לאה אפשטיין וד"ר מירי פרייזלר ( ; c : R כמו-כן ופונקצית קיבול 0,t בור, s מקור, G V נתונה רשת זרימה,, s תארו אלגוריתם יעיל, המוצא מבין כל הזרימות המקסימליות מ-. ב- e u, נתונה קשת v זרימה מקסימלית f ברשת, עבורה f e היא הזרימה המקסימלית האפשרית על הקשת. e הסבירו את נכונות האלגוריתם וחשבו את סבוכיותו. ל- t, 2 סבוכיות של אלגוריתם לחשוב זרימה מקסימלית למשל דיניץ: v 1 תאור האלגוריתם שלב ראשון: נחשב זרימה מקסימלית מ- s ל- t. שלב שני: לאחר שהתקבלה הזרימה המקסימלית בשלב הראשון, נחשב רשת חדשה. נוסיף לצמתים v 1 ל- v ותהיה קשת מ- u ל-. v 1 יהיה אוסף חדש של קשתות. תהיה קשת מ- u 1 ו המקוריים שני צמתים u. 1 הקיבול בכל אחת מקשתות אלה יהיה שווה למקסימום הזרימה שאפשר להוסיף בקשת u,v ביחס לזרימה של השלב הראשון, כך למשל אם החסם העליון הוא 8 יחידות ובשלב הראשון הזרמנו 5 יחידות אז לקשתות החדשות יהיה קיבול 3. את הקשת המקורית בין u ל v ננתק. עבור כל זוג צמתים אחרים שמחוברים בקשת ברשת המקורית, נקבע קשתות בכל אחד משני הכיוונים שקיבולן יהיה שווה למקסימום הזרימה שאפשר להוסיף בכיוון זה ביחס לזרימה של סעיף א, כך למשל אם בקשת ניתן להזרים עד 9 יחידות וכעת מוזרמים בה 7 יחידות, אז בכיוון אחד תהיה קשת בעלת קיבול 7 וקשת שניה בעל קיבול 2..u 1 v 1 ל- כעת נחשב זרימה מקסימלית מ- הזרימה המבוקשת הסופית על כל קשת תהיה שווה לסכום הזרימה עליה בשלב הראשון והזרימה בין שני קצוותיה בשלב השני. הזרימה על הקשת e תהיה שווה לסכום הזרימה עליה בשלב הראשון והזרימה מ- ל- v בשלב השני. הסבר נכונות בשלב השני אנו משמרים את הזרימה על כל הצמתים מבלי לחרוג מהקיבולים המותרים, כך שנשמרת הזרימה המקסימלית מ- s ל- t. אך במסגרת זו מוגדלת ככל האפשר הזרימה על הקשת. e אי אפשר להשיג זרימה יותר גדולה מ- s ל - t מאשר זאת שהושגה בשלב הראשון. על הצמתים שהם לא u ולא v חייבים לשמר את המאזן בשלב השני, כך שמה שנכנס אליהם גם יוצא מהם. כמוכן, כדי להזרים יותר מאשר בשלב הראשון מ- u ל-, v צריך שיכנס ל- u יותר וצריך שיצא מ-. v מה שנכניס יותר ל- u זה מה שיזרום בקשתות החדשות בשלב השני. 17

18 שאלה ) 29 מבחינה של פרופ מיכה שריר ( G V גרף מכוון עם משקלות חיוביים על הקשתות, המיצג ע"י רשימות שכנות. הגרף מייצג יהא, מפת כבישים, כשמשקל כל קשת הוא אורך הקשת שהיא מייצגת. בחלק מהצמתים נמצאות תחנות דלק. תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר המוצא לכל צומת בגרף תחנת דלק הכי קרובה ואת המרחק אליה. O V logv יעילות אלגוריתם נוסיף צומת s שיהיו לו רק קשתות שיוצאות לצמתים שמייצגים תחנות דלק. נהפוך את הכיוון של יתר הקשתות. נריץ את האלגוריתם של דיקסטרה למציאת מסלולים לכל הצמתים מצומת. s עבור כל צומת, המשקל שימצא אליו הוא המרחק ממנו לתחנת הדלק הקרובה ביותר אליו. בעץ שהתקבל, נמצא עבור כל צומת שמייצג תחנת דלק, את קבוצת הצמתים שניתן להגיע אליה ממנו. לגבי כל צומת, תחנת הדלק הכי קרובה היא התחנה שמייצג הצומת שממנו הגענו אליו. הסבר מסלול מצומת אל תחנת דלק הוא מסלול מתחנת דלק לאותו צומת על הגרף שכיוון קשתותיו הפוך. לגבי כל צומת, המסלול לצומת s עובר בתחנת הדלק הקרובה ביותר אליו. האלגוריתם של דיקסטרה יוצר עץ מסלולים ולכן לגבי כל צומת, יש מסלול רק מתחנת דלק אחת. שאלה ) 30 מבחינה של פרופ מיכה שריר ( G V עם משקלות חיוביים על הקשתות, המיוצג ע"י רשימות שכנות. נתון גרף מכוון וקשיר, t להיות קבוצת הקשתות שמשקלן הוא לכל היותר t. תארו אלגוריתם יעיל לכל t 0 נגדיר את ככל האפשר המחשב את t המינימלי עבורו G t V, t הוא קשיר. O V logv יעילות אלגוריתם נבחר צומת שרירותי. נסמן אותו ככזה שהגענו אליו. נסמן את יתר הצמתים ככאלה שלא הגענו אליהם עדיין. בדומה למה שמבוצע באלגוריתם של פרים, נצרף בכל שלב לקבוצת הצמתים שהגענו אליה צומת אחד. זה יהיה הצומת שלו קשת בעלת משקל מינימלי לצומת שכבר הגענו אליו. נמשיך בתהליך עד שנגיע לכל הצמתים. כעת נהפוך את כיוונן של כל קשתות הגרף ושוב נתחיל באותו צומת שרירותי ובתהליך דומה נוסיף צמתים עד שנגיע לכל צמתי הגרף. t יהיה שווה למכסימום בין משקליהן של הקשתות הכבדות ביותר שנמצאו בשני התהליכים. הסבר אם יש מצומת מסוים מסלול לכל צומת אחר ומכל צומת יש מסלול אליו, אז יש דרכו מסלול מכל צומת לכל צומת אחר. מסלול מצומת אחר אליו משתמש באותן קשתות כמו מסלול ממנו לאותו צומת אחר בגרף שכיוון קשתותיו הפוך. בכל שלב אנו בוחרים בקשת בעלת משקל מינימלי שמאפשרת קשירות בין שתי קבוצות של צמתים. 18

19 שאלה ) 31 מבחינה של פרופ נוגה אלון וד"ר איריס רוזנבלום ( נתון גרף מכוון ( G=(V, המיוצג ע"י רשימות שכנות עם פונקצית משקל חיובית + R w : ונתון vv תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר הבודק האם לכל f. : V R בנוסף, נתונה פונקציה. sv מתקיים,(s,v)=f(v) כאשר (s,v) מסמן את המרחק הקצר ביותר מ- s ל- v בגרף. יעילות: אלגוריתם: e i, j נעבור על כל הקשתות. עבור כל קשת vi wi כך ש e i, j צומת j קיימת קשת יתקיימו אז אלה המרחקים המינימלים מצומת הסבר: אם קיים צומת f v j f vi wi j נוודא ש. f v נבדוק גם אם j f, j f,. כמו-כן נוודא שעבור כל. אם"ם כל אלה s 0. s שעבורו k v s f, k v k v i. אם אז במסלול הקצר ביותר לצומת v k v j s v j שעבורו v j. f v j f vi wi, j f, הוא אביו של v j במסלול אז דרכו נקבל ש קיים צומת ראשון מינימלי f v j s, : f vk נסתכל על הצומת j שעבורו v k נניח שקיים צומת k כך שעבורו i מקבל ערך מינימלי. עבור צומת זה לא קיים אף צומת f vr s, v r מבין הצמתים שלגביהם f vi f v j מתקיים לפחות אחד מהשניים i הסבר: עבור כל צומת f v j f vi wi, j כך ש. f v j f vi s, v j s, vi wi, j או אם הפונקציה f היא פונקצית מרחקים אז היא עונה לכל האילוצים. לכל צומת מתקבל מרחק מינימלי דרך אביו בעץ המסלולים המינימלים. על כל צומת ועל כל קשת אנו עוברים מספר קבוע של פעמים. שאלה ) 32 מבחינה של פרופ נוגה אלון וד"ר איריס רוזנבלום ( נתונה תבנית P=P[1]P[2] P[m] מעל א"ב סופי {*} שמכילה בדיוק הופעה אחת של הסימן * (למשל:.(ac*ba כמו כן נתון טקסט T=T[1]T[2] T[n] מעל הא"ב. תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר שיקבע האם T מכיל מחרוזת כלשהיא שמתקבלת מ- P עי הצבת תת מחרוזת כלשהיא במקום * (למשל: הטקסט dacdababd מכיל את התבנית ac*ba החל מהאות השניה). O n m יעילות : באמצעות אלגוריתם KMP נחפש את ההופעה הראשונה של תת המחרוזת שלפני * ונחפש את ההופעה המאוחרת ביותר של תת המחרוזת שאחרי *. נדרוש שהשניה תתחיל לאחר שהאחרונה תסתיים. אם * צריך להופיע במקום מחרוזת לא ריקה אז נדרוש שיהיה פער בין מקום הסיום של הראשונה ומקום ההתחלה של השניה. אם זה מתקיים אז נוכל להציב את * במקום מה שמפריד את הופעתם. 19

20 שאלה ) 33 מבחינה של פרופ נוגה אלון וד"ר איריס רוזנבלום ( שני שחקנים נבונים, A ו- B, משחקים במשחק הבא: נתונה סדרה של n מספרים שלמים מסודרים בשורה משמאל לימין. השחקנים משחקים לסירוגין כשכל אחד בתורו לוקח את המספר הימני ביותר או את המספר השמאלי ביותר.השחקן A משחק ראשון. בסיום המשחק, הערך עבור השחקן A הוא סכום המספרים שהוא בחר פחות סכום המספרים ש- B בחר. הערך עבור השחקן B הוא, באופן דומה, סכום המספרים שהוא בחר פחות סכום המספרים ש- A בחר. מטרת כל שחקן להשיג ערך מירבי; לכן, למשל, אם הסדרה ההתחלתית 1,3 והשחקנים משחקים אופטימלית אזי הערך עבור A הוא 2 והערך עבור B הוא 2-, ואם הסדרה ההתחלתית היא 3 8, 1, אזי הערך עבור A הוא 4- והערך עבור B הוא 4. תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר שיחשב, בהינתן סדרה באורך n את ערך המשחק עבור השחקן A. O n 2 יעילות: יהיו, a, a2, אברי הסדרה. נגדיר נגדיר f i., i a i f i, j maxa i f i 1, j, a 1 a n j f i, j 1 לאחר. עבור כל i, j : 1 i j n יש השוואה בין שני גדלים. עבור כל.1 i n עבור כל 1 i j n. שחקן יכול לקחת מאחד הקצוות שנותרו ואז התור עובר שאלה 34 נתון טקסט ) מבחינה של פרופ נוגה אלון ( P P 1 P 2 מעל א"ב סופי P m ומחרוזת T T 1T 2 T n התווים במחרוזת P שונים. תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר שימצא את כל ההסטים, 0 s n m עבורם P מופיעה בהסט s ב- T עם לכל היותר 3 שיבושים, ז"א. i1 i m, P i T s i, ונניח כי כל, s 3 O n m סיבוכיות: הסבר: נתחיל להשוות בין הטקסט למחרוזת החל מההתחלה עד מקום k 1 בו נגלה אי התאמה רביעית או התאמה מספקת ) עם לכל היותר 3 שגיאות )לכל המחרוזת. אם k 7 אז נתחיל תהליך זהה במקום אחד יותר מאוחר מהמקום שבו התחלנו פעם קודמת. אם k 7 אז נתחיל ב k 6 מקומות אחרי המקום שהתחלנו פעם קודמת. לא תתכן חפיפה של יותר מ 6 תווים בין שתי רישות שונות ששתיהן מדויקות מספיק. בשתי רישות 23 מקומות שבהן התו בטקסט לא שווה לתו באחת הרישות. שמתאימות מספיק יש לכל היותר 6 ביתר המקומות הוא צריך להיות שווה לתווים בשתי הרישות. אך כל התווים במחרוזת שונים והוא לא יכול להיות שווה לשני תווים שונים. אנו משקיעים k 1 השוואות כדי להתקדם k 6 צעדים או לכל היותר 6 השוואות כדי להתקדם צעד אחד. לכן הסיבוכיות היא לינארית. 20

21 שאלה 35 ) מבחינה של פרופ נוגה אלון וד"ר איריס רוזנבלום ומבחינה של פרופ מיכה שריר ( 0 * * 1 1 * * 1 נתונה מטריצה n על n שאיבריה הם 0 או 1. אלכסון מוכלל של המטריצה הוא של n אחדות כך שמכל שורה ומכל עמודה נבחר אחד יחיד. לדוגמא, במטריצה משמאל מודגש אלכסון מוכלל. שימו לב שלא בהכרח קיים אלכסון מוכלל למטריצה. להלן אלגוריתם לחישוב אלכסון מוכלל בהינתן המטריצה: 1. נחזיק מערך בוליאני בגודל n שבו נסמן כל טור שכבר "תפסנו" (בחרנו בו כבר 1 ). בהתחלה כל הטורים אינם תפוסים. 2. נעבור על המטריצה שורה-שורה: א. בכל שורה נחפש את ה- 1 הראשון בטור שעוד לא תפסנו. ב. אם נמצא 1 כזה, נוסיף אותו לאלכסון המוכלל ונסמן שהטור תפוס. ג. אם לא נמצא 1 כזה בשורה הנוכחית-נעצור ונודיע שאין פתרון. א) הוכיחו כי האלגוריתם שגוי. נראה דוגמא שבה האלגוריתם לא נותן פתרון, למרות שיש פתרון אם נבחר את המשבצת השמאלית העליונה אז כבר לא יהיה פתרון. אבל יש פתרון כאשר נבחרת המשבצת האמצעית העליונה. אפשר גם לתת דוגמא עם מטריצה. 2 2 ב) תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר שימצא אלכסון מוכלל של המטריצה, אם קיים, או יאמר בביטחון שאין. יעילות: של חישוב זיווג מכסימלי בגרף דו צדדי ועוד מעבר על מטריצה רבועית נגדיר גרף דו צדדי שבו הצמתים מצד אחד ייצגו את השורות והצמתים מהצד השני ייצגו את העמודות. תהיה קשת מצומת i לצומת j אם"ם במטריצה במשבצת ה-,i j מופיע 1. בגרף זה נחשב זיווג מכסימלי. קיים פתרון אם"ם בגרף זה קיים זיווג מושלם. בזיווג מושלם, בכל צומת נוגעת קשת אחת. את בעיית הזיווג אפשר לפתור באמצעות פתרון בעיית זרימה. נוסיף מקור שממנו יצאו קשתות בקיבול 1 כל אחת לכל צמתי צד אחד ונוסיף יעד כך שמכל אחד מצמתי הצד השני יצאו קשתות אל היעד. לכל הקשתות יהיה קיבול 1 בכיוון מהצד הראשון לשני. ננסה להזרים n יחידות. 21

22 שאלה ) 36 מבחינה של פרופ נוגה אלון וד"ר איריס רוזנבלום ומבחינה של פרופ מיכה שריר ( x,. תארו y V המיוצג ע"י רשימות שכנות ונתון זוג צמתים G V נתון גרף אציקלי מכוון, אלגוריתם יעיל ככל האפשר שיחשב את מספר המסלולים המכוונים בגרף G העוברים גם דרך x וגם דרך. y יעילות: נחשב מיון טופולוגי בגרף. נניח בלי הגבלת הכלליות שבמיון מופיע x לפני. y נוסיף צומת s ונחברו בקשתות לכל הצמתים שמופיעים במיון הטופולוגי לא אחרי. x נוסיף צומת t ונחבר קשתות אליו מכל הצמתים שמופיעים במיון הטופולוגי לא לפני. y נחשב את מספר המסלולים מ s ל, x מ x ל y ומ y ל t. הפתרון יהיה המכפלה של שלושת המספרים האלה. בחישוב כל אחד ממספרים אלה, נסתמך על המיון הטופולוגי ונשתמש בתכנות דינמי. למשל בחישוב מספר המסלולים מ x ל, y לגבי צומת w שבינהם כולל אותם, מספר המסלולים מ w ל y יהיה שווה לסכום מספרי המסלולים ל y מצמתים שיש מ w קשת אליהם ) ברור שמסלול חייב לעבור דרך אחד מהם או שהוא ישיר ל - y שזהו מקרה פרטי ). שאלה ) 37 מבחינה של פרופ נוגה אלון, פרופ עמוס פיאט, פרופ רון שמיר ופרופ מיכה שריר (. w : Z עם פונקצית משקל שלמה על הקשתות G V נתון גרף פשוט, קשיר ולא מכוון,. w e e,e 1 w e 2 עבורן מתקיים 1 2 בנוסף ידוע כי כל המשקלים שונים, חוץ משתי קשתות תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר המוצא את מספר העצים הפורשים המינימאלים של G. יעילות: e e, 1 2 נמצא אם היא נמצאת על מעגל שכולל חוץ ממנה רק קשתות קלות לגבי כל אחת משתי הקשתות ממנה, ואם היא נמצאת על מעגל שכולל רק קשתות בעלות משקל יותר קל או שווה לשלה ) הבדיקות יעשו על-ידי כך שנחפש מסלולים בין קצוות כל אחת מהקשתות ). אם לפחות אחת משתי הקשתות נמצאות על מעגל שכולל רק קשתות קלות מהן, אז יש עץ פורש מינימאלי יחיד ) על פי נכונות אלגוריתם קרוסקל, כל קשת שאינה שנמצאת על מעגל שבו כל הקשתות קלות ממנה, לא נמצאת באף עץ פורש מינימאלי ). אם לפחות אחת משתי הקשתות לא נמצאת על מעגל שבו כל הקשתות קלות או שוות משקל לה, אז יש עץ פורש מינימאלי יחיד. אם הן נמצאות על מעגל שבו כל הקשתות קלות או שוות למשקלן, אבל לא נמצאות על מעגל שבו כל הקשתות קלות מהן, אז יש שני עצים פורשים מינימאלים ) אחרי שבוחרים את אחת מהן אי אפשר לבחור את האחרת לאותו עץ פורש מינימאלי ). 22

23 שאלה ) 38 מבחינה של פרופ מיכה שריר ודן פלדמן (. e לכל קשת w e גרף לא מכוון מיוצג ע"י רשימות שכנות, עם משקל שלם G V יהא, x x G V את תת הגרף המורכב מכל הקשתות שמשקלן לכל לכל מספר ממשי, x נסמן ב-, x היותר. x תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר המחשב את ה- x המקסימלי עבורו G חסר מעגלים. O min V, log V יעילות: אלגוריתם: נזרוק מהגרף את כל הקשתות שהן לא בין V הקשתות הקלות ביותר. נבצע את השלב הראשון של האלגוריתם של קרוסקל ) מיון הקשתות לפי משקלן ). נבצע את השלב השני ונקטע אותו כאשר תמצא קשת שסוגרת מעגל עם קשתות שלא כבדות ממנה. x עבור כל מספר x שקטן ממש ממשקל קשת זו, G הוא חסר מעגלים. הסבר: כל עוד לא התגלתה קשת שסוגרת מעגל אז אפשר לבחור את כל הקשתות מבלי שיווצר מעגל. בכל קבוצה של V קשתות יש בודאי קשת שיוצרת מעגל עם קשתות שאינן כבדות ממנה. אפשר למצוא את הקשתות שצריך למחוק בזמן לינארי ) סטטיסטי סדר ). שאלה ) 39 מבחינה של פרופ מיכה שריר ודן פלדמן ( w חיובי לכל. e הגרף מייצג e על ידי רשימות שכנויות, ומשקל G V נתון גרף מכוון, רשת תקשורת, כאשר כל צומת מייצג משתמש, וכל קשת מייצגת קשר בין שני משתמשים. משתמש u u, v יכול לשלוח הודעה למשתמש v אם קיים מסלול ) מכוון ( מ- u ל- v בגרף. משקל הקשת v V מסווג כ"בוגר", "קטין", הוא עלות הניתוק של הקשר הישיר בין המשתמשים u ו-. v כל צומת מהגרף, לא יהיה של קשתות הגרף כך שאם נמחק את כל קשתות או "לא ידוע". מטרתנו היא לחשב תת-קבוצה מסלול משום צומת "קטין" לשום צומת "בוגר". תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר המקבל כקלט את המקיימת את התכונה לעיל, בעלת משקל כולל, w,g ואת סיווג הצמתים, ומחזיר קבוצת קשתות מינימלי מבין כל הקבוצות המקיימות את התכונה. יעילות: של אלגוריתם לחישוב זרימה מקסימלית אלגוריתם: נוסיף מקור ויעד. נוסיף קשתות מהמקור לכל צומת "קטין" ומכל צומת "בוגר" ליעד. נתן קיבולים לכל קשתות הגרף. הקיבול של כל קשת מקורית יהיה שווה למשקלה והקיבול של כל קשת שהוספה יהיה שווה לסכום כל קיבולי הקשתות המקוריות. נפעיל אלגוריתם לחישוב זרימה מקסימלית מהמקור ליעד. אלגוריתם זה ימצא חתך מינימלי. הקשתות שנחזיר הן קשתות החתך. הסבר: יש להסיר את כל הקשתות באיזשהו חתך כדי לנתק את הקשר. מכיון שלקשתות החדשות נתנו קיבול גדול אז החתך יהיה בין צמתים מהגרף המקורי. הערה: את הקשתות המחברות "קטין" ל"בוגר" יכולנו מראש להסיר. יש גרפים בהם זה משנה את סדר הגודל של היעילות ) כאשר מספר הקשתות הנוגעות ב"לא ידועים" הוא קטן ). 23

24 שאלה 40 נתונה קבוצה משקל חיובי ) מבחינה של פרופ מיכה שריר ודן פלדמן ( a 1, b1,, a n, b n של n האינטרוולים על הישר. w i תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר שמחשב תת-קבוצה כשלכל אינטרוול a i יש, b i עם משקל מקסימלי של כך שכל האינטרוולים ב- זרים בזוגות ) החיתוך של כל שניים ריק ). (רמז: סדרו את האינטרוולים בסדר עולה של נקודות הקצה הימניות שלהם, וקבלו נוסחת נסיגה עבור,OPTj האופטימום עבור j האינטרוולים הראשונים.) O nln יעילות: n אלגוריתם: שלב ראשון: נמיין את האינטרוולים לפי סדר עולה של הקצה הימני שלהם. שלב שני: עבור כל אינטרוול j נמצא באמצאות חיפוש בינארי מבין האינטרוולים שקדמו לו במיון את האינטרוול mj בעל הקצה הימני ביותר שאיתו הוא לא נחתך. שלב שלישי: נעבור על פני כל האינטרוולים על פי הסדר שנקבע בשלב הראשון. עבור כל j נגדיר OPT j MaxOPT j 1, OPT m j w j OPT0 0 הסבר: בכל שלב אנו מקבלים את הפתרון הטוב ביותר שלא כולל את האינטרוול הנבדק או שכולל אותו וגם קבוצה מקסימלית מבין האינטרוולים הקודמים שאינם נחתכים איתו. שאלה ) 41 מבחינה של פרופ מיכה שריר ודן פלדמן ( G V המיוצג ע"י רשימות שכנות, ונתונה תת-קבוצה של קשתות נתון גרף מכוון, "חשובות". תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר, הבודק אם קיים ב- G מסלול העובר דרך כל הקשתות של. יעילות: אלגוריתם: בגרף הנתון נוסיף עבור כל קשת חשובה צומת ונפצל את הקשת לשתי קשתות. הראשונה תחבר את צומת המקור לצומת הנוסף של אותה קשת והשניה את הצומת הנוסף לצומת היעד של הקשת. נריץ את האלגוריתם שתואר בתשובה לשאלה 21 בקובץ זה לבדיקה האם הצמתים שהוספו נמצאים על מסלול אחד הסבר: יש מסלול העובר בכל הצמתים שהוספו אם"ם יש בגרף המקורי מסלול שעובר בכל הקשתות המיוחדות. לא הגדלנו את סדר הגודל של סכום מספר הצמתים והקשתות בגרף. הערה: אם נדרוש שהמסלול יהיה פשוט אז הבעיה היא.NPC 24

25 שאלה ) 42 מרצים: פרופ נוגה אלון, ד"ר איריס רוזנבלום, מתרגלים: רני הוד, דני פלדמן (. x i תאר/י אלגוריתם יעיל ככל a, b, c,1 i n כאשר לכל X x x x n נתונה סדרה עבורו מספר ההופעות של a פחות מספר ההופעות של b האפשר המחשב רצף 1 2 xi xi 1 x j1x j מקסימלי. במילים אחרות, b p : i p j, x a p : i p j, x p p מקסימלי מבין הבחירות האפשריות ל- i, j עבור.1 i j n יעילות: On בעזרת תכנות דינמי נחשב את ערכי ועבור כל : 1 p n 1 אחר-כך נעבור על פני כל ערכי שמייצגים את הפתרון הטוב ביותר שמתחיל בנקודה. p 0 xn b, c Fn 1 xn a F p F p Fp 1 1 x p a Fp Fp 1 x p c maxf p1 1,0 x p b. הרצף המבוקש יתחיל בנקודה שבה F p הוא מקסימלי ויסתיים בנקודה המוקדמת ביותר אחר-כך שבה הוא אפס, או ימשך עד הסוף אם עד הסוף אין נקודה שבה הפונקציה מתאפסת. אם מנקודה מסוימת אי אפשר ליצור רצף שבו יותר a מ b, אז כדאי לשמוט את הקרן שמתחילה בנקודה זו. אחרת כדאי לצרף את הרצף הזה לפתרון שמגיע עד אליה. שאלה ) 43 מרצים: פרופ נוגה אלון, ד"ר איריס רוזנבלום, מתרגלים: רני הוד, דני פלדמן ( G V עם מקור, s בור t ופונ קיבול c : R ונתונה זרימה f ברשת. נתונה רשת זרימה, g שאורכה בקשתות מינימלי. תהיה G f נניח שמצאנו מסילה משפרת ברשת השיורית הזרימה ברשת G המתקבלת מ- f לאחר שהזרמנו לאורך P את הקיבול השיורי. cp הם המרחקים ברשתות f, g כאשר g s, v f s, הוכח/הוכיחי כי לכל צומת v V מתקיים v G בהתאמה. f, G g השיוריות הוכחה: נניח שיש צמתים שעבורם זה לא מתקיים. אז לאחר העדכון קיים צומת v שהוא הראשון במסלול שמוביל אליו שעבורו המסלול החדש קצר יותר. לאחר העדכון מגיעים אליו מצומת u שאליו כעת המסלול קצר יותר ב 1 ולא יותר קצר מאשר היה קודם. קודם לא יכולנו להגיע ל v דרך ) u כי אחרת המסלול ל v לא היה ארוך יותר קודם ). לכן נוכל להסיק שבעדכון הזרמנו מ v ל ) u כך שהתאפשרה אחר-כך זרימה בכיוון ההפוך ). מכיון שהמרחק ל v היה קודם ארוך יותר מאשר עכשיו ומ v עברנו ל u. ובודאי גם מהמרחק עכשיו ל v היה קודם ארוך יותר מאשר עכשיו ל u אז המרחק ל u זאת סתירה לכך שקיימים צמתים שהמרחק אליהם התקצר. 25

26 שאלה ) 44 מרצים: פרופ נוגה אלון, ד"ר איריס רוזנבלום, מתרגלים: רני הוד, דני פלדמן ( G V מכוון וקשיר בחוזקה המיוצג ע"י רשימות שכנות, נתונה פונקצית משקל נתון גרף,. w ידוע שאין בגרף מעגל שלילי ביחס ל-.,u v V ונתונים זוג צמתים שונים w : R תאר/י אלגוריתם יעיל ככל האפשר שימצא, עבור כל ערך של, 2 k V 1, k את המשקל הקל ביותר של מסילה מכוונת שאורכה לכל היותר k קשתות ) אם יש כזו ). הערה: האלגוריתם מחשב, אם כן, V 2 ערכים מ-. R יעילות: נבנה גרף בעל V שכבות של צמתים. בשכבה הראשונה יהיה רק הצומת u. בכל אחת מהשכבות האחרות יהיה עותק של כל צומת מצמתי הגרף. מהשכבה הראשונה לשכבה השניה יצאו כל הקשתות שיוצאות מהצומת u בגרף המקורי. מצומת שבשכבה אחרת תצא קשת לנציג של צומת אחר שבשכבה הבאה אם"ם יש ביניהם קשת בגרף המקורי. כמו-כן תצא קשת מכל נציג לנציג של אותו צומת שבשכבה הבאה. משקלי הקשתות שבין נציגים של צמתים שונים יהיו תמיד זהים למשקלם בגרף המקורי ומשקלי הקשתות שבין נציגים של אותו צומת יהיו תמיד שווים לאפס. בהינתן המרחק לצמתים שבשכבה מסוימת, יהיה המרחק לכל צומת שבשכבה הבאה שווה למינימום על-פני הצמתים שבשכבה הקודמת, שמהם נכנסת לצומת קשת, של המשקל אליהם ועוד משקל הקשת לצומת שבשכבה הבאה. המשקלים המבוקשים יהיו המשקלים לנציגי הצומת v שבשכבות השונות. בהינתן שחישבנו את המשקלים לשכבה קודמת אז המשקלים לשכבה הבאה יכולים להשתמש בקשת אחת יותר או לא להשתמש ביותר קשתות ואז משתמשים בקשת בעלת משקל של אפס. אם עד שכבה מסוימת אין מסלול אז המשקל של מסלולים בעלי אורך לכל היותר זה הוא. מכיון שהגרף הוא קשיר בחוזקה אז מספר הקשתות בו אינו קטן ממספר צמתיו. עבור כל זוג שכבות שכנות יהיה לנו סדר גודל של השוואות. שאלה ) 45 מרצים: פרופ נוגה אלון, ד"ר איריס רוזנבלום, מתרגלים: רני הוד, דני פלדמן ( בבית הספר היסודי "סדר מעל לכל" לומדים תלמידים בכיתות א-ו. בכל כיתה לומדים n תלמידים. במסדר הסיום רוצה המנהל לסדר את התלמידים ב n טורים כשבראש כל טור ילד מכיתה א, אחריו ילד מכיתה ב, בעקבותיו ילד מכיתה ג, וכך הלאה עד לסוף הטור שבו ילד מכיתה ו. לכל ילד מכיתה ב יש רשימה של ילדים מכיתה א שהוא מוכן לעמוד בעקבותיהם בטור. באופן דומה, לכל ילד מכיתה ג יש רשימה של ילדים מכיתה ב שהוא מוכן לעמוד בעקבותיהם בטור, וכך הלאה עד לילדי כיתה ו שלכל אחד מהם רשימה של ילדים מכיתה ה שהוא מוכן לעמוד בעקבותיהם. המנהל מטיל על המורה לאלגוריתמים לבדוק האם אפשר לסדר את 6n הילדים ב n טורים תוך שמירה על אוסף האילוצים הנתון, תאר/י אלגוריתם יעיל ככל האפשר בו תשתמש המורה כדי לפתור את הבעיה. יעילות: של אלגוריתם לחישוב זיווג מכסימלי בגרף דו-צדדי נפתור 5 בעיות זיווג. עבור כל 2 i 6 i: נחשב זיווג מכסימלי בגרף הדו-צדדי ששתי קבוצות צמתיו מייצגות את ילדי כיתה i ואת ילדי כיתה i. 1 בין כל זוג צמתים כאלה יש קשת אם"ם הילד מכיתה i מוכן לעמוד מאחורי הילד מכיתה i. 1 אם"ם בכל 5 הבעיות יש זיווג מושלם אז יש פתרון כנדרש. 26

27 ) מרצים: פרופ נוגה אלון, ד"ר איריס רוזנבלום, מתרגלים: רני הוד, דני פלדמן ( שאלה 46 סעיף א G V עם פונ משקל w : R וצומת s V כך שאין מעגל שלילי תאר/י דוגמא של גרף, ביחס ל w בגרף והאלגוריתם של Dijkstra נכשל; במילים אחרות, הראה/הראי צומת v V כך שהאלגוריתם אינו מחשב נכון את אורך המסילה הקלה ביותר מ s ל. v s 6 8 v 2 5 u t דוגמא והסבר: הקשת מ s ל v היא הקשת הקלה ביותר שיוצאת מ. s לכן בשלב הראשון יקבע מרחק 6 מ s ל. v אך דרך u יש מסלול מ s ל v שאורכו המסלול ל t עובר דרך. v אבל הוא כבר אף פעם לא יעודכן על סמך המשקל הנכון ל. v סעיף ב G V המיוצג ע"י רשימות שכנות עם פונ משקל חיובית נתון גרף לא מכוון, צומת. s V ידוע שדרגת כל צומת בגרף G היא לכל היותר 10. תאר/י אלגוריתם יעיל ככל האפשר שימצא את 100 הצמתים הקרובים ביותר ל s 1 במקרה של שיוויון בין מרחקים נעדיף צמתים עם מס סידורי קטן יותר. w : R 1. ונתון O יעילות: 1 נריץ את אלגוריתם דיקסטרה עד הוספת 100 צמתים לקבוצת הצמתים שאת המרחק הסופי אליהם חישבנו. בכל שלב נחשב את המרחק לכל השכנים של הצמתים שכבר בקבוצה. מרחק זה יהיה שווה למינימום על פני הסכום של אורכי המסלולים לצומת שכבר בקבוצה + אורך הקשת מהצומת הזה לצומת שעדיין לא בקבוצה. בכל שלב נוסיף לקבוצה את הצומת בעל האינדקס המינימלי מבין הצמתים הקרובים ביותר שעדיין לא היה בקבוצה. המרחק הזה אליו יהיה סופי. בכל שלב לא עוברים בבדיקה על יותר מ קשתות הערה: כדי להגיע לסיבוכיות זו, לא נזקקנו למבנה הנתונים שבו משתמשים בדרך כלל באלגוריתם דיקסטרה. ) מרצים: פרופ יוסי עזר, פרופ רון שמיר, מתרגלים: ידעאל ולדמן, אדם שפר ( שאלה 47 סעיף א,s, כך שבנוסף לפונקציית הקיבול על t V וזוג קודקודים G V נתונים רשת זרימה מכוונת, N 1 הינה D : V N 1 (תזכורת: C, : N 1 קיימת גם פונקציית קיבול על הצמתים הקשתות קבוצת השלמים החיובים). נגיד שזרימה היא חוקית אם היא מקיימת את אילוצי הזרימה הרגילים, 27